直列合成抵抗＝Ｒ１＋Ｒ２＋Ｒ３＋…
問１
合成抵抗はいくつか．
Ｂ君「力の合成 とは，どういうことか，説明できるかい？」
力の合成： ２つ以上の力を，それと同じはたらきをする１つの力にまとめることを，力の合成という．
で，その１つの力のことを，合力 という．
合成抵抗も，同じノリで定義できる．
合成抵抗：２つ以上の抵抗を，それと同じはたらきをする１つの抵抗にまとめたもの．
抵抗直列なら，簡単だよね．直列の合成抵抗は，単に足し算をすればよい．
直列合成抵抗＝Ｒ１＋Ｒ２＋Ｒ３＋…
問１
合成抵抗はいくつか．
合成抵抗＝３Ω＋５Ω＝８Ωだ．
抵抗並列はちとややこしい．並列の合成抵抗は，「逆数の足し算の逆数」だ．
並列合成抵抗＝
問２
合成抵抗はいくつか．
合成抵抗＝ ＝３Ωだ．
Ａ君「並列の合成抵抗は，計算が面倒くさいよ．逆数にして，足し算して，また逆数にするなんて．」
Ｂ君「抵抗２本限定なら，並列合成抵抗はもっと簡単な公式があるよ．」
問３
合成抵抗はいくつか？
合成抵抗＝
＝２．４Ω
Ｂ君「抵抗回路の解き方にはね，ある程度，定石みたいなのがあるのだ．」
Ａ君「例えば，抵抗並列回路の場合は？」
抵抗並列回路の解き方（よく使われる順に）
１．ふつうに解く
２．並列合成抵抗の公式を使って解く
Ｂ君「ほとんどの場合，ふつうに解く．ごくたまに，並列合成抵抗を使わないといけない場合が出てくる（後述）」
Ａ君「定石もなにも，まったくふつうじゃん！」
Ｂ君「ここで，そもそも「ふつうの解き方」とは何なのか，を，確認しておこう．」
抵抗回路 ふつうの解き方
・オームの法則 ※Ｖ＝ＲＩ の※Ｖは，「抵抗の両端の」電圧である．電池の電圧と同じとは限らない．
・抵抗１本につき，１つの※Ｖ＝ＲＩを立てる．
Ａ君「抵抗２本の回路なら，※Ｖ＝ＲＩ を２つ立てるわけか．」
Ｂ君「それではなるべく暗算で，問題を解いてみよう．」
問４
電圧が図のようになるのは，もうわかるよね．
それでは，ふつうに解くよ．
６Ωの抵抗について： ９Ｖ＝６Ω×Ｉ１ Ｉ１＝１．５Ａ
３Ωの抵抗について： ９Ｖ＝３Ω×Ｉ２ Ｉ２＝３Ａ
Ｉ１＋Ｉ２＝４．５Ａ
または，
Ｉだけなら，合成抵抗の公式でも出せるよね．
合成抵抗＝（６×３）／（６＋３）＝２Ω，
そして，合成抵抗の両端の電圧は９Ｖなので，
合成抵抗について： ９Ｖ＝２Ω×Ｉ Ｉ＝４．５Ａ
Ａ君「じゃあ，抵抗直列回路の場合は？」
抵抗直列回路の解き方（よく使われる順に）
１．分圧で解く
２．直列合成抵抗の公式を使って解く
（３．ふつうに解く ※めったにやらない）
Ｂ君「抵抗直列の場合，ほとんど１か２で解いてしまう．ふつうに解くことは，めったにやらない．」
Ａ君「ふつうなのに，めったにやらないのか．なんでよ？」
例題１
まず，この回路を試しに，「３．ふつうに解く」で解いてみよう．
４Ωの抵抗について： Ｖ１＝４Ω×Ｉ …①
２Ωの抵抗について： Ｖ２＝２Ω×Ｉ …②
あと，電圧については，Ｖ１＋Ｖ２＝９Ｖ …③
①②③を連立して， Ｉ＝１．５Ａ Ｖ１＝６Ｖ Ｖ２＝３Ｖ だ．
Ａ君「解けるじゃん．」
Ｂ君「今回は簡単だったけど，連立方程式を常に暗算で解ける人って，相当なスーパーマンだと思うよ．
連立方程式なんて，人間が解くもんじゃない．」
Ａ君「じゃあ，どう解くのさ？」
Ｂ君「この問題なら，「１．分圧で解く」 が定石だろうね」
分圧とは？
抵抗直列回路では，電圧は抵抗の比に分圧される． 直列だけだよ
この回路を，「１．分圧で解く」で解いてみよう．
９Ｖを４Ω：２Ωに分圧するので，Ｖ１＝６Ｖ Ｖ２＝３Ｖだ．
そして，
４Ωについて： Ｖ１＝４Ω×Ｉ Ｖ１を代入して，Ｉ＝１．５Ａ
Ｂ君「これなら暗算で出せるでしょ．」
※なぜ抵抗直列では電圧は抵抗の比に分圧されるのか？
水流モデルで説明しよう．
２つの抵抗に流れる電流Ｉは等しいので，２つのθも等しい．
つまり，図の２つの三角形は相似だ（二角）
だから，Ｖ１：Ｖ２＝４Ω：２Ωになる．
抵抗直列では，電圧の比は抵抗の比と等しくなるのだ．
問５
まず，分圧で解いてみよう．
３６Ｖを６Ω：７Ω：５Ωに分圧するのだから，Ｖ１＝１２Ｖ Ｖ２＝１４Ｖ Ｖ３＝１０Ｖ
Ｖ１２＝Ｖ１＋Ｖ２＝１２＋１４＝２６Ｖ ってやってもいいけれど，
１８分の１３の分圧だと思えば，２６Ｖだってすぐに出るよね．
そして，
６Ωの抵抗について： Ｖ１＝６Ω×Ｉ Ｖ１を代入して，Ｉ＝２Ａ
または，
直列合成抵抗６＋７＋５＝１８Ωを使っても，解けるね．
合成抵抗の両端の電圧は３６Ｖなので，
直列合成抵抗について： ３６Ｖ＝１８Ω×Ｉ Ｉ＝２Ａ
６Ωについて： Ｖ１＝６Ω×Ｉ Ｉを代入して，Ｖ１＝１２Ｖ
７Ω，５Ωについても同様 Ｖ２＝１４Ｖ Ｖ３＝１０Ｖ
Ｂ君「抵抗直列回路の場合，ほぼ１００％，分圧で解くのが定石だ．合成抵抗を使うやりかたを知っておいてもいいけど．」
Ａ君「ふつうに解くことは，やらないわけだね．」
Ｂ君「それでは，いきなりいくよ．問６と問７は，今の知識で解けるはずだ．」
Ａ君「 なるべく暗算で，解くんだよね．」
問６
一応，水流モデルも書いてみたけど．．．まあ要らないかな．
分圧より，Ｖ３＝８Ｖ
４Ωについて：１６Ｖ＝４Ω×Ｉ２ Ｉ２＝４Ａ
Ｖ４＝１６Ｖ＋Ｖ３＝２４Ｖなのは，わかるよね（わからなければ，水流モデルを見て）
３Ωについて：Ｖ４＝３Ω×Ｉ４ Ｉ４＝８Ａ
Ｉ＝Ｉ２＋Ｉ４＝１２Ａ
２．５Ωについて：Ｖ１＝２．５Ω×１２Ａ＝３０Ｖ
Ｖ＝Ｖ１＋Ｖ４＝５４Ｖ
問７
５Ωの両端と，１０Ωの両端は，同じ電圧Ｖ２なのは，わかるね．
Ｖ２＝５Ω×１Ａ＝５Ｖ
１０Ωについて：Ｖ２＝１０Ω×Ｉ３ Ｉ３＝０．５Ａ
Ｉ＝１Ａ＋Ｉ３＝１．５Ａ
４Ωについて：Ｖ１＝４Ω×１．５Ａ＝６Ｖ
Ｖ＝Ｖ１＋Ｖ２＝１１Ｖ
例題２
Ａ君「うーん，これは，どこからとりかかったらいいのか，わからないよ．」
Ｂ君「それではヒントだ． このような直並列回路は，分圧で解くのがセオリーだ．」
Ａ君「うーん分圧？ どこに抵抗直列回路があるっていうんだ．．．あ，もしかして，並列部分だけ合成抵抗にしちゃえばいいのか．」
Ｂ君「そう，部分的な合成抵抗をつくるのが，コツなのだ．」
１０Ωと１５Ωの部分の並列合成抵抗＝（１０×１５）／（１０＋１５）＝６Ω
これで，２Ωと合成６Ωの抵抗直列回路が見えるね．１２Ｖを２Ω：６Ωに分圧して，
Ｖ１＝３Ｖ Ｖ２＝９Ｖ
２Ωについて： Ｖ１＝２Ω×Ｉ Ｉ＝１．５Ａ
１０Ωについて： Ｖ２＝１０Ω×Ｉ２ Ｉ２＝０．９Ａ
Ｉ３＝Ｉ－Ｉ２＝０．６Ａ
一応最後に，水流モデルを示しておくよ．
問８
なんか電池の向きとかを変えてあるけど，電気的には例題２と同じだよね．
３０Ωと２０Ωの部分の並列合成抵抗＝（３０×２０）／（３０＋２０）＝１２Ω
これで，８Ωと合成１２Ωの抵抗直列回路が見えるね．１５Ｖを８Ω：１２Ωに分圧して，
Ｖ１＝６Ｖ Ｖ２＝９Ｖ
８Ωについて： Ｖ１＝８Ω×Ｉ Ｉ＝０．７５Ａ
３０Ωについて： Ｖ２＝３０Ω×Ｉ２ Ｉ２＝０．３Ａ
Ｉ３＝Ｉ－Ｉ２＝０．４５Ａ
（応用）問９
抵抗Ｒ１の消費電力Ｐ１＝３７．５Ｗ，
抵抗Ｒ２の消費電力Ｐ２＝２５Ｗ，
抵抗Ｒ３の消費電力Ｐ３＝１２．５Ｗであった．
抵抗Ｒ１，Ｒ２，Ｒ３はそれぞれいくつ？
ヒント：Ｒ２とＲ３については，Ｐ＝※ＶＩ または，Ｐ＝Ｉ２Ｒ
２つの抵抗で，共通なのは何かな？
まず，Ｒ１はすぐにわかるね．Ｐ＝※Ｖ２／Ｒより，
３７．５＝３０２／Ｒ１ Ｒ１＝２４Ω
次にＲ２とＲ３だけど，
Ｐ＝※Ｖ×Ｉ 電流Ｉ２が共通なので，Ｐ２：Ｐ３＝Ｖ２：Ｖ３なのは，わかるかな．
つまり，Ｖ２＝２０Ｖ Ｖ３＝１０Ｖ
あとはもうわかるよね．Ｐ＝※Ｖ２／Ｒより，
２５＝２０２／Ｒ２ Ｒ２＝１６Ω
１２．５＝１０２／Ｒ３ Ｒ２＝８Ω
（別解 ちょっとマニアック）
２５Ｗ＋１２．５Ｗ＝３７．５Ｗなので，Ｒ１と，Ｒ２＆Ｒ３の合成抵抗はおそらく同じ抵抗値だ．
だって，Ｐ＝※Ｖ２／Ｒより，電圧※Ｖが同じで電力Ｐが同じなら，抵抗Ｒも同じでしょ．
Ｒ１は↑より２４Ω つまり，Ｒ２＋Ｒ３＝２４Ωだ．
で，Ｒ２とＲ３は電流Ｉ２が共通 Ｐ＝Ｉ２Ｒより，Ｐ２：Ｐ３＝Ｒ２：Ｒ３
つまり，Ｒ２＝１６Ω Ｒ３＝８Ω
（応用）問１０
電流Ｉ５はいくつか． 流れる向きが逆向きなら，マイナスで答えよ．
ヒント：部分合成抵抗
真ん中の部分は，左の回路と電気的に同じなのは，わかるかな．
単純に電線をどうつなぐかの違いだけだからね．
となると，この回路は，２つの部分合成抵抗の直列回路だってのは，わかるよね．
合成抵抗１＝（６×２）／（６＋２）＝１．５Ω
合成抵抗２＝（３×３）／（３＋３）＝１．５Ω
つまり，９Ｖを１．５：１．５に分圧 Ｖ１＝４．５Ｖ Ｖ２＝４．５Ｖ
６Ωについて： Ｖ１＝６Ｖ×Ｉ１ Ｉ１＝０．７５Ａ
以下同様に，Ｉ２＝２．２５Ａ Ｉ３＝１．５Ａ Ｉ４＝１．５Ａ
となると，電流の収支から，Ｉ５＝－０．７５Ａ（つまり，下から上へ電流が流れる）ってのは，わかるかな．
数式で示すなら，Ｉ１＝Ｉ３＋Ｉ５より，Ｉ５＝－０．７５Ａ
問１１
図で，スイッチＳ１をＯＮにすると，各部の電流や電圧は？
ヒント：ＯＮのスイッチは，電線（＝水平パイプ）と同じ．
てきとーに解いても解けるだろうけれど，ちゃんとオームの法則に則って解いてみよう．水流モデルを見てごらん．
２Ωは，ＯＮのスイッチＳ１（＝水平パイプ）と並列なので，２Ωの両端は０Ｖとなる（２Ωのななめパイプは水平なので）．
つまり，Ｖ１＝０Ｖ で，Ｖ１＋Ｖ２＝１２Ｖより，Ｖ２＝１２Ｖ
３Ωについて： Ｖ２＝３Ω×Ｉ Ｉ＝４Ａ
２Ωについて： Ｖ１＝２Ω×Ｉ１ Ｉ１＝０Ａ
Ｉ１＋Ｉ２＝Ｉより，Ｉ２＝４Ａ
ポイント
ＯＮのスイッチや電線の両端の電圧は，０Ｖ（だって水平パイプだから）
問１２
図で，スイッチＳ１をＯＮにすると，各部の電流や電圧は？なお，Ｉ５は矢印の向きに電流が流れた場合を正とする．
スイッチＳ１の両端は０Ｖなので，Ｖ２＝０Ｖ
で，Ｖ１＋Ｖ２＝９Ｖなので，Ｖ１＝９Ｖ
６Ωについて： Ｖ１＝６Ω×Ｉ１ Ｉ１＝１．５Ａ
２Ωについて： Ｖ１＝２Ω×Ｉ１ Ｉ２＝４．５Ａ
３Ωについて： Ｖ２＝３Ω×Ｉ２ Ｉ３＝０Ａ
電流の収支より，Ｉ１＋Ｉ２＝Ｉ３＋Ｉ４ Ｉ４＝６Ａ
そして，Ｉ１＝Ｉ３＋Ｉ５より，Ｉ５＝１．５Ａ
問１３
図で，スイッチＳ１をＯＦＦにすると，各部の電流や電圧は？
Ａ君「スイッチＯＦＦなんでしょ．こんなの簡単だよ．」
Ｂ君「 本当に簡単だと思う？」
スイッチＯＦＦなので，Ｉ＝０だ．これはわかるね．
３Ωについて： Ｖ２＝３Ω×Ｉ＝０Ｖ
Ｖ１＋Ｖ２＝１２Ｖなので，Ｖ１＝１２Ｖ
Ａ君「Ｖ１が納得いかないよ．スイッチがＯＦＦなんでしょ．０Ｖじゃないの？」
Ｂ君「実際にここに電圧計をつなげば，１２Ｖを指すよ．やってみる？」
Ａ君「納得いかないよ．スイッチが切れてたら圧力０なんだから０Ｖでしょうが！」
Ｂ君「君はまだ，電圧のことを圧力だと思っているのかい？高さの差だって言ってるでしょうが！」
Ｖ１＋Ｖ２＝１２Ｖ この式は必ず成立しなければならない．
で，Ｖ２＝０Ｖなんだから，Ｖ１は１２Ｖになるのは，自明でしょ．
Ａ君「うーん それでも納得いかないなあ．ＯＦＦのスイッチを∞Ωの抵抗だと考えたら？」
Ｂ君「Ｖ１＝∞Ω×０Ａ＝不定値．だから，オームの法則では値が定まらない．で，Ｖ１＋Ｖ２＝１２Ｖより，Ｖ１＝１２Ｖ」
Ａ君「納得いかないよ」
Ｂ君「じゃあＶ１の位置に電圧計をつないでごらんよ．」 Ａ君「１２Ｖだ．．．」
例題３
図で，Ｖ１～Ｖ４はいくつか．
Ａ君「もう暗算でわかるよ．９ＶをＶ１：Ｖ２＝６Ω：９Ωに分圧するんだから，Ｖ１＝３．６Ｖ Ｖ２＝５．４Ｖ．
９ＶをＶ３：Ｖ４＝４Ω：６Ωに分圧するんだから，Ｖ３＝３．６Ｖ Ｖ４＝５．４Ｖ あれれ同じだ．」
Ｔ君「じゃあ一般に，Ｉ５＝０Ａになるのは，Ｒ１～Ｒ４がどんなときかな？」
Ａ点とＢ点の高さが同じになるときだから，
Ｒ２／（Ｒ１＋Ｒ２）＝Ｒ３／（Ｒ３＋Ｒ４）のとき …④ だってのは，わかるかな．
Ｂ君「これでもいいけど，もっと簡単に考えようよ．
Ｒ１：Ｒ２＝Ｒ３：Ｒ４のとき…⑤ でいいじゃん．」
Ａ君「たしかに④と⑤は数学的に同じだね．⑤の方が使いやすいね．」