（改良型）水流モデル　その４【高校範囲】キルヒホッフの法則で，より難しい抵抗回路を解こう【でも暗算には向かない】

１．キルヒホッフの法則の使い方

Ａ君「キルヒホッフの法則って，何なのよ？」
Ｂ君「キルヒホッフの法則を使えば，どんな抵抗回路も解けてしまう，万能の法則だ．ただ，連立方程式を解かないといけないので，暗算には向かない．
　　　今までこの法則を使わなかった理由はそれだ．」
Ａ君「なるべくこの法則を使わず，暗算で解いてほしかったってことだね．」
Ｂ君「ただ，あるレベル以上の回路はキルヒホッフの法則など特殊な手法を使わないと解けないのと，キルヒホッフの法則の考え方自体はとても有用なので，
　　　今回，解説をしてみようかと．」

例題１
一見すると難しそうだが，これは今までの知識で解けるはずだ．

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４Ωの両端の電圧が６Ｖになることは，わかるよね．
すると，５Ωの両端は４Ｖにならないといけないわけだ．わかるかな．

水流モデルで表すと，こんな感じだ．

Ａ君「５Ωの両端が４Ｖになることはわかったけど，この電圧の矢印が右を向くってのが，わからないよ．
　　　５Ωの両端は，どちらも電池のマイナスにつながってるじゃん．これじゃわからないよ．」
Ｂ君「水流モデルを見れば，一発でしょ．電圧の矢印は，水流モデルの高い方につけるのだ」
Ａ君「水流モデルを書けばわかるけどさあ，毎回こんなの書いてられないよ．」
Ｂ君「そうだね．回路の電池が２個以上の場合，電圧の矢印は今までのように「電池の＋に（電気的に）近い方につける」っているルールでは，弱いんだよな．」

（より正しい）電圧の矢印の向きのルール（電池が２個以上の場合でも通用する）
　　１（新ルール）：　抵抗の場合，抵抗に電流が流れ込む側（電流の入り口側）を矢印にする
　　２：電池の場合は，電池の＋側を矢印にする．
　　３：水流モデルでは，高い方を矢印にする
　　４（新ルール）：電圧計をつなぐときは，矢印の側を＋端子（赤端子），反対側を－端子（黒端子）につなぐ

Ｂ君「今回は，電流Ｉ３は５Ωの右から左へ流れるので，４Ｖの電圧は右側を矢印にするのだ．」
Ａ君「抵抗の場合，電流の矢印の向きと電圧の矢印の向きが結果的に逆になっちゃうのは，おもしろいね．
　　　４Ωの両端の６Ｖも，電流Ｉ２が流れ込む側が矢印になってるね．」
Ａ君「初めからこの正しいルールを教えればよかったじゃん」
Ｂ君「どうも中学生にはこれは難しいみたいでさあ」
Ａ君「まあ考えてみれば，水はななめパイプを下から上へ自然に流れることはありえないから， ３．のルールを活かすためには，「１．ななめパイプの入り口側が矢印」なのは当然なのか．」

あとはまあ，計算すればわかるよね．

４Ωについて：　６Ｖ＝４Ω×Ｉ２　　Ｉ２＝１．５Ａ
５Ωについて：　４Ｖ＝５Ω×Ｉ３　　Ｉ３＝０．８Ａ

Ｉ２＝Ｉ１＋Ｉ３より，Ｉ１＝０．７Ａ

さて，キルヒホッフの法則は，第１法則と第２法則の２つからなるのだけれど，
まずは重要な第２法則から，確認していこう．

たとえば，Ａ→Ｂ→Ｅ→Ｆ→Ａ　と，１周してみよう．初めと同じ高さになるよね．
Ａ→Ｂ　→　Ｅ　→Ｆ　→　Ａ
　０　－６Ｖ　＋０　＋６Ｖ　　＝０

たとえば，Ｆ→Ｅ→Ｄ→Ｃ→Ｂ→Ａ→Ｆ　と，１周してみよう．
Ｆ→Ｅ　→　Ｄ　→　　Ｃ　→Ｂ　→Ａ　→　Ｆ
　０　－４Ｖ　＋１０Ｖ　＋０　＋０　－６Ｖ　　＝０
初めと同じ高さになるよね．

このように，水流モデルを１周すると，必ず，初めと同じ高さになる．
どこからスタートしても，どっち向きに廻っても，初めと同じ高さになる．

Ａ君「当たり前じゃないか」
Ｂ君「その当たり前が，キルヒホッフの第２法則なのさ．」

次は，回路図でやってみよう．
　　電圧の矢印の向きに進むと，高くなり，
　　電圧の矢印と逆向きに進むと，低くなる．
これは，水流モデルから明らかだよね．

たとえば，Ｂ→Ａ→Ｆ→Ｅ→Ｂ　と，１周してみよう．
Ｂ→Ａ　→　Ｆ　→Ｅ　→　Ｂ
　０　－６Ｖ　＋０　＋６Ｖ　　＝０
初めと同じ高さになるよね．

たとえば，Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｂ→Ｃ　と，１周してみよう．
Ｃ　→　　Ｄ　→　Ｅ　→　Ｂ　→Ｃ
　－１０Ｖ　＋４Ｖ　＋６Ｖ　＋０　　＝０
初めと同じ高さになるよね．

Ａ君「だから何なのさ」
Ｂ君「このテクニックを使えば，Ｉ１～Ｉ３を数学的に導くことが，できるんだよ．」

具体的には，抵抗部分にオームの法則を使ってみる．※Ｖ＝ＲＩだな．

あ，せっかくだから，キルヒホッフの第１法則も導入してしまおうか．

キルヒホッフの第１法則（改）：電流の数は，囲まれたエリアの数だけ定義すればよい．それ以上は足し算引き算でなんとかするべし．

たとえばこの回路の場合，電線などで囲まれたエリアは２つある．だから，電流は２つ定義すればよい．３つも要らないのだ．
だから，１つ減らすよ．どれを減らしてもいいけど，Ｉ１＝Ｉ２－Ｉ３なので，Ｉ１をカットして，Ｉ２とＩ３だけの式にしよう．

そして，キルヒホッフ第２法則だ．

キルヒホッフの第２法則（改）：
　　１．電池部分は電池の電圧，抵抗部分はオームの法則※Ｖ＝ＲＩで，各部の電圧を書く．
　　２．１周すれば，必ず初めと同じ高さになる．
　　３．エリアの数（＝定義した電流の数）だけ，周回する．ただし，回路のすべての部分を最低１回は通るようにしないといけない．２回以上通ってもよい．０回はダメ．
　　　　どっち回りでもいいし，どこからスタートしてもよい．
　　４．すると，エリアの数（定義した電流の数）だけ式が立つはずなので，連立方程式で解く．

今回の場合，エリアが２つなので，周回を２つ行う．
好きな周回経路を選んでくれてよい．たとえば
　　Ｂ→Ｅ→Ｄ→Ｃ→Ｂ：　－４Ｉ２－５Ｉ３＋１０＝０　…①
　　Ａ→Ｂ→Ｅ→Ｆ→Ａ：　　－４Ｉ２＋６＝０　　　　　　　…②
回路のすべての部分を最低１回は通ったので，ＯＫ．

で，①②を連立して，　Ｉ２＝１．５Ａ　　Ｉ３＝０．８Ａだ．
Ｉ１＝Ｉ２－Ｉ３＝０．７Ａ

ほら，数学的にＩ１～Ｉ３を出せたでしょ．

Ｂ君「これが，キルヒホッフの法則を使った，回路の解き方だ．」
Ａ君「ふーーーーん　　めんどくさい．連立方程式だから暗算も使えないし．こんなの使わなくてもいいじゃん．」

例題２
Ｂ君「この例題２は，キルヒホッフの法則を使わないと解けまい！」
Ａ君「そんなの要らないよ．ちょちょいっと．．．．うっ　何だこれは」

答はここをクリック

まず，キルヒホッフの第１法則．
電線などで囲まれたエリアは２つなので，電流の定義を２つにしちゃうよ．
今回はＩ２＝Ｉ１＋Ｉ３より，Ｉ２をカットして，Ｉ１とＩ３だけにしちゃおう．

次に，キルヒホッフの第２法則．今回の場合，エリアが２つなので，周回を２つ行う．
どんな周回コースでもいいんだけどさ，たとえば，
Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ｇ→Ａ：　－４Ｉ１－２０＋５Ｉ３＋３０＝０　…①
Ｃ→Ｆ→Ｅ→Ｄ→Ｃ：　－２０（Ｉ１＋Ｉ３）－５Ｉ３＋２０＝０　　…②

もすこし整理して，
４Ｉ１－５Ｉ３＝１０　…①
４Ｉ１＋５Ｉ３＝４　…②

①②を連立して，Ｉ３＝－０．６Ａ　Ｉ１＝１．７５Ａ
Ｉ２＝Ｉ１＋Ｉ３＝１．１５Ａ

Ａ君「Ｉ３がマイナスだよ！」
Ｂ君「つまりＩ３は，図の電流矢印とは逆向きに電流が流れるってことだよ．」
Ａ君「そんなことしたら，２０Ｖの電池は充電されちゃうじゃないか．いいのかよ？」
Ｂ君「理想電池は充電もできるのさ．」
Ａ君「むちゃくちゃだよ！」　Ｂ君「君は○ネループを否定するのかい？」

　

水流モデルで示すと，こんな感じ．
５Ωのななめパイプを見ると，電流Ｉ３は必ず上から下へしか流れないので，
Ｉ３はこの向きにならないといけない．つまり，２０Ｖの電池が充電されちゃうのはやむを得ないのだ．

２．それでは問題演習だ．キルヒホッフの法則を使って，難しい抵抗回路を解こう

問１

問２

問３

３．重ね合わせの理　とか，鳳テブナンの定理とか

キルヒホッフの法則を使うと，連立方程式を使わないといけなくなっちゃう．
もっと楽に，難しい回路を解く方法は，ないだろうか．

キルヒホッフの法則のように「万能」ではないけれど，
ある種の回路を楽に解く手法ってのは，いくつかあるんだ．
ここではまず，

重ね合わせの理　を，紹介しよう．

電池が２つ以上ある回路を，楽に解く手法だ．

たとえば問１や問２は，重ね合わせの理　でも解ける．

Ｉ１ａ，Ｉ２ａ，Ｉ３ａ，Ｉ１ｂ，Ｉ２ｂ，Ｉ３ｂは，暗算でも出せるでしょ．

Ａ君「暗算．．．まあ，やればできるか．」

Ｉ１ａ＝０．８Ａ　　Ｉ２ａ＝１．６Ａ　　Ｉ３ａ＝２．４Ａ
Ｉ１ｂ＝０．８Ａ　　Ｉ２ｂ＝－０．４Ａ　Ｉ３ｂ＝０．４Ａ　●Ｉ２ｂがマイナスだってことに注意ね

Ｂ君「で，このａとｂを足し算（重ね合わせ）すればＯＫ」
Ｉ１＝１．６Ａ　　　Ｉ２＝１．２Ａ　　　Ｉ３＝２．８Ａ

ほら，キルヒホッフの法則よりもずっと楽に出せるでしょ．
問２も，重ね合わせの理で解いてごらん．

Ａ君「問３は電池が１個だから，重ね合わせの理では解けないね．」

Ｂ君「そうだね．問３のような回路は，鳳－テブナンの定理　が楽だぜ．　ほうてぶなんのていり　と読む．鳳秀太郎（ほうひでたろう）先生の名前からきてるのだ．」
Ａ君「どんな定理？」
Ｂ君「えっとね．．．忘れた．毎回やりかたを覚えて，すぐに忘れるんだよなこれ．．．」

興味があれば，調べてごらん．いろんな人がＨＰでわかりやすく解説してるよ．

Ａ君「ポテチン」「それは鳳啓助（おおとりけいすけ）さんだ」

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